问答题 设R是一个环．称R中理想的升链条件成立（ACC），若任何R的严格递增的理想序列N1⊂N2⊂N3⊂…是有限长的；称R中关于理想的极大条件成立（MC），如果R中每个理想的非空集合S包含一个理想：这个理想不真包含在S中的其它任何理想中；称R中关于理想的有限基条件成立（FBC），如果R中每个理想N是有限生成的，即N=〈b1，b2，…，bn>． 证明：ACC，MC与FBC三条件等价．

问答题 证明任何一个域都是Euclid环．

问答题 设R为Euc1id环，且δ（a，b）=δ（a）δ（b），δ（a+b）≤max{δ（a），δ（b）}．证明R或为一个域，或为一个域上的一元多项式环．